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- 發(fā)布日期：2017-08-03
我在國內上中學(xué)的時(shí)候，150分的數學(xué)考試，最低考過(guò)27分。
27分大家知道是什么概念嗎？我們那時(shí)候考試用的是答題卡，27分就相當于把這個(gè)答題卡放到地上，然后踩兩腳，把鞋印放到機器里——估計這樣出來(lái)的分數也不止27分。
我考27分那次，是我們班的倒數第三名。還有兩個(gè)比我更差的，我們三個(gè)人現在還是很好的朋友。那兩個(gè)人，倒數第二的考了26分，我以一分險勝。他現在在美國一個(gè)世界500強的公司擔任副總裁級的高管。考倒數第一的那個(gè)人考了9分，9分啊，如果我是兩個(gè)鞋印，他就只能是大半個(gè)鞋印了。這個(gè)人后來(lái)考上了英國的牛津大學(xué)，現在是全球知名的經(jīng)濟學(xué)家。
所以，如果孩子現在數學(xué)成績(jì)不好，我們不用太焦慮，它代表不了什么，既不代表孩子不聰明，也不代表孩子學(xué)習能力不好，有一種可能，就是孩子所接受的數學(xué)教育，有問(wèn)題。
別人都用計算器，只有我用草稿紙
先和大家分享我的一個(gè)故事。
那是我在英國讀研究生的時(shí)候，剛入學(xué)沒(méi)多久，老師在黑板上講一道題，有一個(gè)7×9的算式，我在下面隨口答了一句63，結果引來(lái)全班一片驚嘆聲。包括老師在內都用特別崇拜的眼光看著(zhù)我，仿佛看到數學(xué)之神了。
英國一直沒(méi)有乘法表和乘法口訣。2015年，英國前首相卡梅倫和教育部長(cháng)摩根兩個(gè)人曾經(jīng)想過(guò)在中小學(xué)生中推廣乘法表和乘法口訣，結果遭到了媒體和學(xué)生家長(cháng)的一致反對。
特別巧，沒(méi)過(guò)幾天我們就有一個(gè)測驗，我是從來(lái)沒(méi)有如此期待過(guò)數學(xué)考試，十多年來(lái)從來(lái)沒(méi)有當過(guò)數學(xué)的好學(xué)生，終于有這個(gè)機會(huì )了，尤其還是在國外，終于有了為國爭光的機會(huì )。
到了考試那一天，老師把考題發(fā)下來(lái)，然后我發(fā)現一個(gè)特別奇怪的事，我所有的同學(xué)第一個(gè)動(dòng)作就是從書(shū)包里拿出科學(xué)計算器，當時(shí)我就特別懵，因為我在國內上學(xué)的時(shí)候，計算器是不能在考試中用的。但是在英國學(xué)校里，計算器是一個(gè)必備工具。
所以我眼睜睜的看他們從書(shū)包里拿出計算器，而全班只有我從書(shū)包里拿出來(lái)一疊稿紙。
最后的結果，可想而知，全班只有我沒(méi)有答完題目，因為別人都是只要知道方法了，他們就可以用計算器非常快地算出結果，而我把大量的時(shí)間都浪費在了計算過(guò)程上。
學(xué)數學(xué)，應該像玩游戲、看電影
于是我開(kāi)始反思，數學(xué)到底學(xué)什么？我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)數學(xué)？數學(xué)真的跟現實(shí)生活息息相關(guān)嗎？我們學(xué)數學(xué)到底學(xué)的是什么？
為什么國外學(xué)校可以容忍我們認為的特別低級的運算無(wú)能，但是他們卻依然能夠培養出那么多優(yōu)秀的數學(xué)家？我們學(xué)數學(xué)究竟是學(xué)一種運算技巧，還是學(xué)一種數學(xué)思維？我反思的結論是：數學(xué)應該是一場(chǎng)游戲。
我們把數學(xué)公式背得很熟練，把幾何原理背得很熟練，然后以此不斷地做各種各樣的題，這就相當于我們玩游戲的時(shí)候，不讓你體驗游戲的過(guò)程，只告訴你，摁前進(jìn)，摁五下，然后跳，往左邊走，然后打，最后到了關(guān)卡……你記住上上下下，左右左右，ABBA，你把這些都記住，然后一遍一遍去訓練，就可以完成任務(wù)。
已經(jīng)知道了所有公式，即使運用得再熟練，也無(wú)助于我們體驗游戲的精髓。我們需要具備的，是獨立的思考、有創(chuàng )造力的思考，而不是“被訓練”。就如高斯所說(shuō)：“我們需要的是想法，而不是符號。”
學(xué)數學(xué)，還應該像看電影、看書(shū)。比如，我們看《西游記》，不告訴你唐僧為什么取經(jīng)，他經(jīng)歷了什么事情，就告訴你唐僧經(jīng)過(guò)了九九八十一難，最后取回了真經(jīng)，你要記住這八十一難都是什么，這個(gè)順序還不能亂，最后考試的時(shí)候，你要把每一難的名字答上去，就算通過(guò)了。
這樣的閱讀是正確的嗎？如果這樣看書(shū)是不對的，為什么這樣學(xué)數學(xué)就是對的呢？
巧解數學(xué)更考驗創(chuàng )造力
既然數學(xué)是一種游戲，那么，我們完全可以在想象的世界里去制定規則，考驗自己的創(chuàng )造力。
我們舉一道“雞兔同籠”題，相信所有的孩子都被考過(guò)這道題：
“籠子里有雞和兔若干只， 籠子里有25個(gè)頭和70只腳。問(wèn)：兔子和雞各有多少只？”
我不知道大家是怎么做的題，我就記得我學(xué)這道題時(shí)，是在第一次學(xué)一元一次方程式，老師告訴我標準答案是：
我們假設兔的數量是 X：
4X＋2×（25－X）=70
X＝10
兔子＝10（只）
雞＝25－10＝15（只）
這么做對不對呢？肯定是對的。那這道題這么做好玩嗎？肯定不好玩。
“雞兔同籠”其實(shí)有特別多的證法，我給大家舉一個(gè)特別好玩的例子。
你想象一個(gè)世界，這一籠子的兔子和雞就在這個(gè)想象的世界里，你站在這個(gè)籠子前面，一聲令下，所有的動(dòng)物都抬起一只腳，這個(gè)時(shí)候還有多少只動(dòng)物站著(zhù)？
70－25＝45只，還有45只腳站著(zhù)，你再一聲令下，所有動(dòng)物又都抬起一直腳站著(zhù)，這時(shí)候還有45－25＝20只腳站著(zhù)，但是雞已經(jīng)一屁股坐地上了，因為雞只有兩只腳全抬起來(lái)了，那站著(zhù)的全是兔子，這20只腳全是兔子的，所以兔子有10只，雞就是15只。
這樣解這道題就好玩。
這道題還有很多種解法，我們還有一種解法：
假設雞也有四只腳，那25個(gè)動(dòng)物里面應該有100只腳，那為什么只有70只腳呢？因為有30個(gè)（100－70＝30）翅膀沒(méi)有算做腳嘛！
那30個(gè)翅膀肯定就是雞的了，所以就是15只雞。
我們再舉個(gè)例子。這是一個(gè)矩形，就是一個(gè)長(cháng)方形，長(cháng)方形里面有一個(gè)三角形，問(wèn)題就是：這個(gè)綠色的三角形面積和旁邊藍色三角形面積的比是多少？
正常來(lái)說(shuō)我們的標準答案是：
三角形的面積＝1／2×底×高
矩形面積＝底×高
這么一算，矩形內三角形內和三角形外的面積比是1：1
這么解對不對呢？肯定對！那這么解好不好玩呢？肯定不好玩。
我們來(lái)說(shuō)另外一種解法，還是放到我們想象的世界里：
把它想象成一張紙，我們從三角形頂點(diǎn)向下畫(huà)一條線(xiàn)，把它撕開(kāi)，它變成了兩個(gè)方形。
每一個(gè)方形都被對角線(xiàn)分割成了一模一樣的兩個(gè)部分，也就是每一個(gè)方形里面綠色和藍色部分的面積都是一樣的，他們合起來(lái)的面積也是一樣的，也是1：1。
我們可以不知道那些公式、定理，但在想象的世界里，把這些東西做得很有意思。這就是數學(xué)的意義，這就是數學(xué)訓練我們的真正的目的——不是訓練什么計算能力，而是訓練一種數學(xué)思維。
從數學(xué)角度來(lái)說(shuō)
減肥是不可能的
那么，什么是“數學(xué)思維”呢？
百度對數學(xué)思維的概念是這樣：數學(xué)思維是數學(xué)的思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的思考形式，也就是能夠用數學(xué)的觀(guān)點(diǎn)去思考問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，比如轉化與劃歸、從一般到特殊、特殊到一般、函數/映射的思想等等。
說(shuō)得對，但不好懂。我怎么理解數學(xué)思維的呢？數學(xué)思維就是游戲思維，就是窮盡你的想象力去創(chuàng )造一個(gè)世界，然后用嚴謹的論證和邏輯推理去得到一個(gè)答案，是一種高度抽象并解決問(wèn)題的能力。
數學(xué)思維給你的是重新看世界的一雙眼睛，看這個(gè)世界的另外一種眼光。有的時(shí)候它可能跟我們對這個(gè)世界的直覺(jué)理解會(huì )比較大的的區別。
我舉個(gè)例子——我們知道，自然數、奇數、偶數。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然數
2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶數
1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇數
但大家覺(jué)得，自然數、偶數和奇數這三種數，哪個(gè)數的數目多？
我們從直覺(jué)上感覺(jué)，偶數和奇數組合成了自然數，自然數自然比它們多，但是從數學(xué)角度來(lái)說(shuō)，它們三個(gè)數是一樣多的，因為他們三個(gè)的數目都是無(wú)窮。
我們再舉個(gè)例子。一個(gè)屋子里有23個(gè)人，他們有兩個(gè)人的生日是同一天的可能性大不大？
直覺(jué)來(lái)說(shuō)，我們出去坐公交車(chē)、去機場(chǎng)等經(jīng)常會(huì )碰見(jiàn)很多人，但我們都不會(huì )覺(jué)得在這么多人里面會(huì )有兩個(gè)人的生日一樣。但從數學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，在23個(gè)人的這個(gè)人群里，有兩個(gè)人的生日是同月同日的概率超過(guò)50%。
為什么？因為我們把每一個(gè)人的生日和另外22個(gè)人作對比，那它就是有253次對比的機會(huì )，在這253次對比中出現相同的概率是非常高的，這個(gè)被稱(chēng)為“生日悖論”。在計算機里面呢，有一種專(zhuān)門(mén)破解密碼的方式叫做生日攻擊，它的原理就是從生日悖論來(lái)的。
我再舉個(gè)悖論例子——減肥，從某種數學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，減肥這個(gè)事是不可能的。因為想要減掉10斤，首先得減掉5斤，那想減掉5斤，就得先減掉2.5斤，想要減掉2.5斤，就先得減掉1.25斤。這個(gè)是無(wú)窮的對折，但人無(wú)法減掉一個(gè)無(wú)窮的數，所以減肥是不可能的。
就像龜兔賽跑。只要烏龜先跑，兔子就永遠都追不上。為什么？因為兔子永遠要到達烏龜之前到達的那一個(gè)點(diǎn)，那兔子只要到達那一個(gè)點(diǎn)，那烏龜就又往前移動(dòng)了，所以兔子永遠都無(wú)法追上烏龜。
我們知道這個(gè)在現實(shí)生活中是不可能的，但大家想想，這一個(gè)一個(gè)的著(zhù)名“悖論”，就是數學(xué)家在玩的一個(gè)一個(gè)游戲。如果我們學(xué)數學(xué)是希望“有用”，那我告訴大家，你只要學(xué)會(huì )加減法，會(huì )用計算器就可以了。
但如果我把每一個(gè)數字都看成游戲中的一個(gè)元素，忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜歡的方法去求證問(wèn)題，然后不斷試錯，我們就能鍛煉起來(lái)數學(xué)思維。
玩真正的游戲對于提升數學(xué)思維也大有裨益，比如象棋、圍棋、桌游。我曾親眼見(jiàn)到了一個(gè)十歲的孩子在玩數學(xué)推理的桌游，名字叫“達芬奇密碼”，把兩個(gè)二十八九歲、有碩士學(xué)位的成年人打得大敗。
而如果，我們要強調數學(xué)到底在我們現實(shí)中有什么意義，那可以說(shuō)，數學(xué)思維讓我們有更理性的思考，更有邏輯的分析。能夠用另外一種眼光來(lái)看這個(gè)世界。最起碼，它能讓我們少上一些當，能讓我們看穿一些初級騙局。
